Blue Car et B0 : 250km d'autonomie, chiffre réaliste?
J'ai souvent entendu que les données constructeurs sur l'autonomie des véhicules électriques n'étaient pas réalistes. Faisons quelques calculs pour nous faire une idée. Nous savons que les batteries de la blue car et B0 contiennent 27,5Kwh d'énergie (1).
Avant d'arriver aux roues, cette énergie doit d'abord passer par le supercondensateur puis par l'électronique de puissance puis par le moteur électrique et enfin par la transmission. Nous avons à chaque étape, un rendement associé. En reprenant les chiffres de (2), cela nous donne le rendement suivant :
0,999*0,95*0,95*0,99*0,95*0,85 = 72%
Des 27,5Kwh, seul 27,5*0,72 = 19,82Kwh arrivent aux roues, cette énergie est notée E.
Cette énergie est transformée en énergie cinétique. En mécanique, un corps qui conserve son énergie cinétique se déplace à vitesse constante dans l'espace. Sur une route, une voiture doit lutter contre des forces de frottement.
Sans apport d'énergie, la voiture voit donc son énergie cinétique et donc sa vitesse baisser, l'énergie cinétique étant transformée en chaleur. Deux types de frottements sont à considérer. D'abord les frottements fluides de l'air sur la carrosserie du véhicule ensuite, les frottements de roulement qui correspondent au contact des pneus sur la route qui provoque un échauffement. La force de frottement fluide s'exprime ainsi (3)(4) :
Ff = 1/2 kaSV^2
Avec Ff en Newton, a la densité de l'air en kg/m^3, S la surface frontale du véhicule, V sa vitesse.
k est le coefficient aérodynamique du véhicule qui dépend du profil du véhicule.
La force de frottement de roulement s'exprime par (3)(5):
Fr = bmg
Avec b le coefficient de frottement, il dépend des pneus. m le poids en kg et g la gravité terrestre en m/s^2.
La puissance nécessaire pour lutter contre ces forces correspond à :
P = V(Ff + Fr)
Considérons dans un premier temps que le véhicule roule à vitesse constante V.
V = 22,2 ms^-1 (Soit 80km/h)
Pour un véhicule à vocation urbaine comme la Blue Car, les valeurs suivantes sont typiques (5)(6):
S = 1,8m^2
k = 0,32
b = 0,012
m = 1000Kg
Les autres valeurs sont les suivantes et ne dépendent pas du véhicule (7)(8):
g = 9,8 m/s^2
a = 1,2 Kg/m^3
Application numérique :
Ff = 0,5*0,32*1,2*1,8*22,22*22,22 = 170,63 N
Fr = 0,012*1000*9,8 = 117,6 N
P = 22,22*(216 + 117,6) = 6390 W = 6,39Kw.
On en déduit l'autonomie dans ces conditions :
A = (E/P)*V = (19,82/6,39)*80 = 248,13Km
Le mieux est encore de tracer la courbe de l'autonomie en fonction de la vitesse du véhicule :
A = EV/V(Ff + Fr) = E/((1/2)kaSV^2 + bmg) = 19,82*3600/(0,5*0,32*1,2*1,8*V^2 + 117,6) km
Avec V en Km/h : A = 19,82*3600/(0,5*0,32*1,2*1,8*V^2/(3,6^2) + 117,6) km = 71352/(0,0266 V^2 + 117,6)
Traçons la courbe :
Cette courbe illustre la forte influence de la vitesse sur l'autonomie. On voit qu'à faible vitesse (50km et moins), vous pouvez espérer faire environ 400km voir plus tandis que sur autoroute vous ferez 130km à 125 km/h .
Ces deux véhicules (Blue Car et B0) étant à vocation urbaine, il faut faire un calcul plus précis dans ce domaine.
En ville, les nombreux freinages et accélérations font perdre beaucoup d'énergie. C'est pourquoi vous ne ferez pas 400km et plus en ville avec ce type de véhicule. Néanmoins ces véhicules récupèrent une part importante de l'énergie de freinage augmentant sensiblement l'autonomie en ville. Afin de rendre compte de cela nous considéreront que le véhicule répète le cycle suivant :
Accélération de 0 à 50km/h (avec une accélération de 3s/m^2)
Vitesse constante à 50km/h
Freinage de 50 à 0 Km/h (avec une décélération de 3s/m^2)
On suppose la distance parcourue de 250m à chaque fois.
Le système de récupération de freinage fait marcher le moteur en génératrice. L'énergie fait le chemin inverse avec la même rendement (72%). Calculons l'énergie dépensée au cours de ce cycle.
Afin de simplifier le calcul (sinon il faut procéder à une résolution d'équation différentielle non linéaire), nous supposerons que la force de frottement est de 140N lors des phases d'accélération sachant qu'à 50km/h ces forces sont de 184N (0,5*0,32*1,2*1,8*13,9*13,9 + 117,6.).
Le PFD (principe fondamental de la dynamique) nous donne :
F = ma = 1000*3 = 3000N
Il faut donc une force motrice de 3140N pour accélérer.
La vitesse de 50km/h (13,9m/s) est atteinte en 13,9/3 = 4,63 secondes.
Soit x la position du véhicule sur l'axe des x.
A t=0 le véhicule est à x=0 et à une vitesse nulle.
De ces conditions initiales, on déduit avec deux intégrations successives la distance parcourue lors des phases d'accélération et de décélération :
x = 1/2 a t^2 = 0,5 * 3 * 4,63^2 = 32,15m notée d
Le travail de la force motrice est donc :
Wa = Fd = 3140*32,15 = 100951J
Lors de la phase de décélération, la force de freinage est aidée par les frottements.
Elle est donc de 2860N soit un travail de :
Wf = 2860*32,15 = 91949J
Cette énergie provient de l'énergie cinétique du véhicule et non des batteries.
Lors de cette phase, l'énergie cinétique du véhicule est récupérée.
On récupère donc avec un rendement de 72% :
0,72*91949= 66203J
A 50km/h, la voiture doit exercer une force de 184N sur une distance de (250 - 32,15*2) 185,7m soit un travail de
W = 185,7*184 = 34168J
La perte totale d'énergie au cours d'un cycle est donc de :
100951J+ 34168J - 66203J = 68916J
Cela sur une distance de 250M. Sur 1km 4 cycles sont effectués, l'énergie consommée sera donc :
4*68916/ 3600 = 76,6Wh au Km
Cette énergie est prélevée sur celle disponible aux roues de 19,82Kwh
On en déduit facilement l'autonomie :
19820/76,6 = 258,8 Km
Discussion :
L'autonomie d'un véhicule électrique varie fortement selon l'utilisation.
Le premier facteur est la vitesse, viens ensuite la fréquence des freinages.
Ici nous voyons qu'à 30km/h la blue Car ou la B0 peuvent parcourir environ 500km.
Dans des conditions urbaines cette autonomie sera comme l'indique le constructeur de l'ordre de 250km.
A grande vitesse l'autonomie deviens nettement plus réduite. Le chiffre fournit par les constructeurs semble donc tout à fait réaliste dans des conditions urbaines pour ces deux véhicules. De plus, la plupart des véhicules roulent la majorité de leur kilométrage en condition urbaine, il est donc rare de voir l'autonomie chuter à cause de la vitesse élevée sur route ou autoroute. Nous voyons aussi qu'il est difficile d'avoir une bonne autonomie sur route.
Pour des véhicules à vocation routière, les frottements fluides évoluant au carré de la vitesse, il faut améliorer le profil du véhicule afin de réduire le coefficient k. C'est par ex ce qui a été fait pour la EV1 de Général Motor qui a un coefficient de 0,19 (9). Néanmoins, la solution que je préconise d'une génératrice pour les longs trajets permet de s'affranchir de cette limitation (10).
Si vous avez des remarques à faire ou des erreurs à signalez, vous pouvez les faire dans les commentaires.
Références :
(1) Combien de centrales électriques en france pour un parc de voitures électrique
(2) Filières électrique et thermique : rendement
(3) Equations aérodyamique automobile (wiki)
(4) Traînée aéodynamique (wiki)
(5) Données aéroynamiques voiture électrique
(6) Coefficients de frottement
(7) Masse volumique de l'air (wiki)
(8) Pesanteur terrestre
(9)Coefficient EV1
(10) Voiture électrique : architecture
Avant d'arriver aux roues, cette énergie doit d'abord passer par le supercondensateur puis par l'électronique de puissance puis par le moteur électrique et enfin par la transmission. Nous avons à chaque étape, un rendement associé. En reprenant les chiffres de (2), cela nous donne le rendement suivant :
0,999*0,95*0,95*0,99*0,95*0,85 = 72%
Des 27,5Kwh, seul 27,5*0,72 = 19,82Kwh arrivent aux roues, cette énergie est notée E.
Cette énergie est transformée en énergie cinétique. En mécanique, un corps qui conserve son énergie cinétique se déplace à vitesse constante dans l'espace. Sur une route, une voiture doit lutter contre des forces de frottement.
Sans apport d'énergie, la voiture voit donc son énergie cinétique et donc sa vitesse baisser, l'énergie cinétique étant transformée en chaleur. Deux types de frottements sont à considérer. D'abord les frottements fluides de l'air sur la carrosserie du véhicule ensuite, les frottements de roulement qui correspondent au contact des pneus sur la route qui provoque un échauffement. La force de frottement fluide s'exprime ainsi (3)(4) :
Ff = 1/2 kaSV^2
Avec Ff en Newton, a la densité de l'air en kg/m^3, S la surface frontale du véhicule, V sa vitesse.
k est le coefficient aérodynamique du véhicule qui dépend du profil du véhicule.
La force de frottement de roulement s'exprime par (3)(5):
Fr = bmg
Avec b le coefficient de frottement, il dépend des pneus. m le poids en kg et g la gravité terrestre en m/s^2.
La puissance nécessaire pour lutter contre ces forces correspond à :
P = V(Ff + Fr)
Considérons dans un premier temps que le véhicule roule à vitesse constante V.
V = 22,2 ms^-1 (Soit 80km/h)
Pour un véhicule à vocation urbaine comme la Blue Car, les valeurs suivantes sont typiques (5)(6):
S = 1,8m^2
k = 0,32
b = 0,012
m = 1000Kg
Les autres valeurs sont les suivantes et ne dépendent pas du véhicule (7)(8):
g = 9,8 m/s^2
a = 1,2 Kg/m^3
Application numérique :
Ff = 0,5*0,32*1,2*1,8*22,22*22,22 = 170,63 N
Fr = 0,012*1000*9,8 = 117,6 N
P = 22,22*(216 + 117,6) = 6390 W = 6,39Kw.
On en déduit l'autonomie dans ces conditions :
A = (E/P)*V = (19,82/6,39)*80 = 248,13Km
Le mieux est encore de tracer la courbe de l'autonomie en fonction de la vitesse du véhicule :
A = EV/V(Ff + Fr) = E/((1/2)kaSV^2 + bmg) = 19,82*3600/(0,5*0,32*1,2*1,8*V^2 + 117,6) km
Avec V en Km/h : A = 19,82*3600/(0,5*0,32*1,2*1,8*V^2/(3,6^2) + 117,6) km = 71352/(0,0266 V^2 + 117,6)
Traçons la courbe :
Cette courbe illustre la forte influence de la vitesse sur l'autonomie. On voit qu'à faible vitesse (50km et moins), vous pouvez espérer faire environ 400km voir plus tandis que sur autoroute vous ferez 130km à 125 km/h .
Ces deux véhicules (Blue Car et B0) étant à vocation urbaine, il faut faire un calcul plus précis dans ce domaine.
En ville, les nombreux freinages et accélérations font perdre beaucoup d'énergie. C'est pourquoi vous ne ferez pas 400km et plus en ville avec ce type de véhicule. Néanmoins ces véhicules récupèrent une part importante de l'énergie de freinage augmentant sensiblement l'autonomie en ville. Afin de rendre compte de cela nous considéreront que le véhicule répète le cycle suivant :
Accélération de 0 à 50km/h (avec une accélération de 3s/m^2)
Vitesse constante à 50km/h
Freinage de 50 à 0 Km/h (avec une décélération de 3s/m^2)
On suppose la distance parcourue de 250m à chaque fois.
Le système de récupération de freinage fait marcher le moteur en génératrice. L'énergie fait le chemin inverse avec la même rendement (72%). Calculons l'énergie dépensée au cours de ce cycle.
Afin de simplifier le calcul (sinon il faut procéder à une résolution d'équation différentielle non linéaire), nous supposerons que la force de frottement est de 140N lors des phases d'accélération sachant qu'à 50km/h ces forces sont de 184N (0,5*0,32*1,2*1,8*13,9*13,9 + 117,6.).
Le PFD (principe fondamental de la dynamique) nous donne :
F = ma = 1000*3 = 3000N
Il faut donc une force motrice de 3140N pour accélérer.
La vitesse de 50km/h (13,9m/s) est atteinte en 13,9/3 = 4,63 secondes.
Soit x la position du véhicule sur l'axe des x.
A t=0 le véhicule est à x=0 et à une vitesse nulle.
De ces conditions initiales, on déduit avec deux intégrations successives la distance parcourue lors des phases d'accélération et de décélération :
x = 1/2 a t^2 = 0,5 * 3 * 4,63^2 = 32,15m notée d
Le travail de la force motrice est donc :
Wa = Fd = 3140*32,15 = 100951J
Lors de la phase de décélération, la force de freinage est aidée par les frottements.
Elle est donc de 2860N soit un travail de :
Wf = 2860*32,15 = 91949J
Cette énergie provient de l'énergie cinétique du véhicule et non des batteries.
Lors de cette phase, l'énergie cinétique du véhicule est récupérée.
On récupère donc avec un rendement de 72% :
0,72*91949= 66203J
A 50km/h, la voiture doit exercer une force de 184N sur une distance de (250 - 32,15*2) 185,7m soit un travail de
W = 185,7*184 = 34168J
La perte totale d'énergie au cours d'un cycle est donc de :
100951J+ 34168J - 66203J = 68916J
Cela sur une distance de 250M. Sur 1km 4 cycles sont effectués, l'énergie consommée sera donc :
4*68916/ 3600 = 76,6Wh au Km
Cette énergie est prélevée sur celle disponible aux roues de 19,82Kwh
On en déduit facilement l'autonomie :
19820/76,6 = 258,8 Km
Discussion :
L'autonomie d'un véhicule électrique varie fortement selon l'utilisation.
Le premier facteur est la vitesse, viens ensuite la fréquence des freinages.
Ici nous voyons qu'à 30km/h la blue Car ou la B0 peuvent parcourir environ 500km.
Dans des conditions urbaines cette autonomie sera comme l'indique le constructeur de l'ordre de 250km.
A grande vitesse l'autonomie deviens nettement plus réduite. Le chiffre fournit par les constructeurs semble donc tout à fait réaliste dans des conditions urbaines pour ces deux véhicules. De plus, la plupart des véhicules roulent la majorité de leur kilométrage en condition urbaine, il est donc rare de voir l'autonomie chuter à cause de la vitesse élevée sur route ou autoroute. Nous voyons aussi qu'il est difficile d'avoir une bonne autonomie sur route.
Pour des véhicules à vocation routière, les frottements fluides évoluant au carré de la vitesse, il faut améliorer le profil du véhicule afin de réduire le coefficient k. C'est par ex ce qui a été fait pour la EV1 de Général Motor qui a un coefficient de 0,19 (9). Néanmoins, la solution que je préconise d'une génératrice pour les longs trajets permet de s'affranchir de cette limitation (10).
Si vous avez des remarques à faire ou des erreurs à signalez, vous pouvez les faire dans les commentaires.
Références :
(1) Combien de centrales électriques en france pour un parc de voitures électrique
(2) Filières électrique et thermique : rendement
(3) Equations aérodyamique automobile (wiki)
(4) Traînée aéodynamique (wiki)
(5) Données aéroynamiques voiture électrique
(6) Coefficients de frottement
(7) Masse volumique de l'air (wiki)
(8) Pesanteur terrestre
(9)Coefficient EV1
(10) Voiture électrique : architecture